Note04 多项式¶

本笔记完全参考《Linear Algebra Done Right》，所有记录的相关知识以及总结思考均来自该书的启发。本笔记只是面向个人作为深入学习理解线性代数的垫脚石，解释性质不高，而且没有例子，但是高度凝练，适合复习的时候审阅核对梳理主干。

个人认为线性代数分为3部分：矩阵论、向量空间论、算子论，目前本笔记章节位于向量空间论的末尾部分，作为讨论算子论的材料。本章节的许多定理不要求证明，因为涉及到过于复杂的数学分析、实分析等理论。
本笔记覆盖的范围 - 4（参考第三版：《Linear Algebra Done Right，3E》）

我假设你已经有一定高等数学和线性代数基础，我列出我略去的概念：

多项式的零点	复数的性质	复数共轭

在前置部分，我给出多项式在线性代数下面的定义：

对于函数$p:\mathbf{F} \rightarrow \mathbf{F}$，若存在$a_0,...,a_m \in F$使得对所有的$z \in F$都有

\[p(z) = a_0 + a_1z+a_2z^2+...+a_mz^m,deg\;p = m\]

则称函数$p$是系数在$\mathbf{F}$中的多项式，同时多项式的次数记为$deg\;p$

我们为了保持多项式次数计算公式的唯一性和简洁性($deg(pq) = deg\;p+deg\;q$),我们规定多项式$0$的次数为$-\infty$

多项式的唯一性¶

多项式的系数是唯一确定的，换句话说若一个多项式是0函数，那么所有的系数都是0。这个很显然，我们不加以证明。

多项式的带余除法¶

类比在数论中提及的带余除法，我们不加证明地给出多项式的带余除法：

设$p,s \in P(\mathbf{F}),s \ne 0$，则存在唯一的多项式$q,r \in P(\mathbf{F})$使得：

\[p = sq +r\]

并且$deg\;r <deg\;s$

如果 $r = 0$，我们一般称 $s$ 是 $p$ 的因式。

多项式的零点¶

多项式的每个零点都对应一个一次因式

\[p \in P(\mathbf{F}),\lambda\in\mathbf{F},then\;\;p(\lambda ) = 0 \Leftrightarrow \exists q\in P(\mathbf{F}),\forall z \in \mathbf{F},p(z) = (z-\lambda)q(z)\]

多项式零点和数不超过它的次数

设$p \in P(\mathbf{F})$ 是$m(m \ge 0)$次多项式，则 $p$ 在 $F$中最多有m个互不相同的零点

$\mathbf{C}$上多项式的分解¶

代数学基本定理 代数学基本定理表明，任何一个非常数的多项式（即次数大于零的多项式）在复数域中至少有一个根。这意味着，所有次数为 $n$ 的多项式都可以被分解为 $n$个一次因子（虽然可能有重根）

于是我们可以在$\mathbf{C}$上有对多项式的分解：

若$p \in P(\mathbf{C})$是非常数多项式，则 $p$ 可以为一分解为

\[p(z) = c(z-\lambda_1)...(z-\lambda_m)\]

其中，$c,\lambda_1,...\lambda_n \in \mathbf{C}$

$\mathbf{R}$上多项式的分解¶

在实系数多项式上有如下特点：

实系数多项式的非实零点总是成对出现

若$\lambda \in \mathbf{C}$ 是 $p$ 的零点，那么 $\bar{\lambda} $ 是也 $p$ 的零点

回想二次实系数多项式的分解$x^2 +bx+c = (x-\lambda_1)(x-\lambda_2),b^2 \ge 4c$

于是我们有 $\mathbf{R}$ 上多项式的分解：

若$p \in P(\mathbf{R})$是非常数多项式，则 $p$ 可以为一分解为

\[p(x) = c(x-\lambda_1)...(x-\lambda_m)(x^2+b_1x+c_1)...(x^2+b_Mx+c_M)\]

其中，$c,\lambda_1,...\lambda_n,b_1,...,b_M,c_1,...c_M \in \mathbf{R}$，并且对于每个 $j$ 均有 $b_j^2 < 4c_j $

Note04 多项式¶

多项式的唯一性¶

多项式的带余除法¶

多项式的零点¶

\(\mathbf{C}\)上多项式的分解¶

\(\mathbf{R}\)上多项式的分解¶